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定义
系统的时不变性是指:如果系统的输入信号在时间上有一个平移,系统的零状态响应也产生同样一个时间的平移.
对于连续时间系统: \[ \text{If} \ f(t)\rightarrow y_f(t), \text{then} \ f(t-t_0)\rightarrow y_f(t-t_0). \] 对于离散时间系统: \[ \text{If} \ x(n)\rightarrow y_x (n), \text{then} \ x(n-n_0)\rightarrow y_x (n-n_0). \] 其中,\(t_0\)、\(n_0\)可正可负.
具有时不变性的系统为时不变系统(Time-invariant System),如下图所示:
#TODO:更新图片.
理解系统时变性质
对于连续时间信号系统\(y_f(t)=f(t)\)来说,发生时移时: \[ f(t)\rightarrow f(t-t_0) \tag{1.1} \]
\[ y_f(t)\rightarrow y_f(t-t_0) \tag{1.2} \]
只有当式\((1.1)\)与式\((1.2)\)的时移域是一样的时候,即信号的时间域和系统的时间域是一样的,系统才是时不变系统.
以\(y_1(t)=f_1(t)\)和\(y_2(t)=f_2(t)·\cos(t)\)为例:
- \(y_1(t)=f_1(t)\)中,信号\(f_1(t)\)的时间域与系统响应\(y_1(t)\)的时间域是一致的,故为时不变系统.
- \(y_2(t)=f_2(t)·\cos(t)\)中,信号\(f_2(t)\)时移只作用于信号本身的时间域\(f_2(t)\rightarrow f_2(t-t_0)\),而系统响应的时移不单单作用于信号,是整个系统时域的时移\(y_2(t-t_0)\rightarrow f_2(t-t_0)·\cos(t-t_0)\).
有翻转、展缩的情况
对于系统 \[ y_f(t)=f(-2t)·\sin(t) \] 有 \[ y_f(t-t_0)=f[-2(t-t_0)]·\sin(t-t_0)\ne f(-2t-t_0)·\sin(t). \] 故为时变系统.为什么如此?
令 \[ f(t)\rightarrow y_f(t)=f(-2t)·\sin(t) \tag{1.3} \] 则\(y_f(t-t_0)=f[-2(t-t_0)]·\sin(t-t_0)\);
而 \[ f_1(t)=f(t-t_0)\rightarrow y_{f1}(t)=f_1(-2t)·\sin(t)=f(-2t-t_0)·\sin(t) \tag{1.4} \] 换个角度再看一下: \[ \begin{aligned} f_1(t)&\rightarrow y_{f1}(t) \\ || \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ ||\\ f(t-t_0)& \rightarrow f_1(-2t)·\sin(t)=f(-2t-t_0)·\sin(t) \end{aligned} \] 这里关键就是做变量替换,由于\(f_1(t)=f(t-t_0)\),则\(f_1(-2t)=f(-2t-t_0)\);\(\sin(t)\)中的\(t\)不改变是因为是\(\sin(t)\)是具体函数,而不是抽象函数(具体函数指\(y=ax+b\)、\(y=\sin(x)\)、\(y=ae^x\)这样的函数,抽象函数指类似于\(f(at+b)\)、\(g(at+b)\)这样的函数).
e.g.
判断系统\(y(n)=x(n+1)+x(1-n)\)的时变性.
解:
\(x(n) \rightarrow y(n)=x(n-1)+x(1-n) \Rightarrow y\left(n-n_{0}\right)=x\left(n-n_{0}-1\right)+x\left(1-n+n_{0}\right)\) \(x_{1}(n)=x\left(n-n_{0}\right) \rightarrow\) \(y_{1}(n)=x_{1}(n-1)+x_{1}(1-n)=x\left(n-1-n_{0}\right)+x\left(1-n-n_{0}\right) \neq y\left(n-n_{0}\right)\)
故为时变系统.
时不变性的判断
- 线性系统:判断线性/非线性系统时,不需要关心时间.
- 时不变系统:判断时变/时不变,不考虑初始状态的影响,仅考虑零状态响应.
- 线性与时不变性没有必然联系.
Regular Examples
判断下列方程描述的系统是否时不变系统?
- \(y(t)=\sin [f(t)]\)
- \(y(t)=\cos t \cdot f(t)\)
1.解:
步骤一:直接写出\(y(t-t_0)\)
步骤二:看\(f(t-t_0)\)的输出 \[ f\left(t-t_{0}\right) \rightarrow y_{1}(t)=\sin \left[f\left(t-t_{0}\right)\right]=y\left(t-t_{0}\right) \] 所以为时不变系统.
2.解:
步骤一: \(y\left(t-t_{0}\right)=\cos \left(t-t_{0}\right) \cdot f\left(t-t_{0}\right)\)
步骤二: \(\begin{aligned} f\left(t-t_{0}\right) \rightarrow y_{1}(t) & \triangleq \cos (t) \cdot f\left(t-t_{0}\right) \neq y\left(t-t_{0}\right) \end{aligned}\)
所以是时变系统.
Irregular Examples
- 电容\(u(t)=\frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t} i(\tau) \mathrm{d} \tau\)是时变系统还是时不变系统?
\[ f(t) \rightarrow y(t)=\frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t} f(\tau) \mathrm{d} \tau \]
步骤一: \(y\left(t-t_{0}\right)=\frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t-t_{0}} f(\tau) \mathrm{d} \tau\)
步骤二: \(f\left(t-t_{0}\right) \rightarrow y_{1}(t)=\frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t} f\left(\tau-t_{0}\right) \mathrm{d} \tau\)
令\(u=\tau-t_0\) \(=\frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t-t_{0}} f(u) \mathrm{d} u\)
\(\ =y\left(t-t_{0}\right)\)
系统为时不变系统.这种代数方式不同于一般的数学直觉,但并不违背数学逻辑.
对于电阻、电容、电感组成的电路,只要参数是常数,就是时不变系统!时不变系统一般用常系数微分/差分方程来描述.
- 某系统,对输入波形拓展\(2\)倍输出,即\(y(t)=f(\frac{1}{2}t)\),则该系统是时变系统还是时不变系统?线性还是非线性系统?
步骤一: \(y\left(t-t_{0}\right)=f\left[\frac{1}{2}\left(t-t_{0}\right)\right]\) 步骤二: $ f(t-t_{0}) y_{1}(t) f( t-t_{0}) y(t-t_{0})$
系统为线性、时变系统.
如果\(f(·)\)前出现变系数,或有展缩,翻转运算,则为时变系统;如果仅仅有时延,则为时不变系统.
- \(y(t)=\int_{- \infty}^{2t-1}f(\tau)\mathrm{d}\tau\)为非线性(\(2t-1\)为仿射,非线性)、时变(\(2t-1\)中的\(t\)带有系数\(2\))系统(可以依照本小节第一题自行验证,下同)
- \(y(t)=\int_{- \infty}^{t-1}f(\tau)\mathrm{d}\tau\)为非线性、时不变系统.
题外话:本小节第一题是线性系统而第三题是非线性系统,这里的线性概念不同于高中的线性概念.高中的线性只要\(x\)与\(y\)是一次函数关系就可以成为线性,而在大学线性概念是严格的正比例关系.类似于\(y=ax+b(b\ne0)\)这样的函数关系成为仿射(affine).
Exercise
判断下列系统的记忆性、时变性、线性、因果性和稳定性:
- \(y(t)=\frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}\)
- \(y(t)=\int_{-\infty}^{2 t} x(\tau) \mathrm{d} \tau\)
- \(y(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<0 \\ x(t)+x(t-2), & t \geqslant 0\end{array}\right.\)
- \(y(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x(t)<0 \\ x(t)+x(t-2), & x(t) \geqslant 0\end{array} \right.\)
#TODO:更新答案.
判断技巧
凡\(f(·)\)与变系数、或其他具体函数有关,或者抽象函数中包含展缩、翻转(不包括时移)的即为时变系统.
- \(y(t)=tf(t)\)为时变系统->有变系数\(t\)(或者说有具体函数\(y=t\)).
- \(y(t)=f(t)·f(t-1)\)为时不变系统.
- \(y(t)=\sin(t)·f(t)\)为时变系统->包含具体函数.
- \(y(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{f(t)}\)为时不变系统,但不一定是因果系统,因为微分操作可以与未来时间有关,也可以与过去时间有关.
- \(y(n)=2x(-n)\)是时变系统->包含翻转.
- \(y(n)=2x(-7n)\)是时变系统->包含翻转与展缩.