#TODO:补充图;完善拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系.
傅里叶变换并不是万能的,对于类似于\(e^{at}u(t),a>0\)这样的不收敛函数完全没辙,而拉普拉斯变换就是对付这样的函数的工具.
理解拉普拉斯变换
课本通过对傅里叶变换乘一个收敛因子来推导出拉普拉斯变换,这样就从数学上说明了傅里叶变换是拉普拉斯变换的一个特殊情形.傅里叶变换与拉普拉斯变换在后面会详细地展开.
拉普拉斯变换分为单边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯变换,下文主要讲的是单边拉普拉斯变换.
傅里叶级数/变换是用等幅度(幅度不变)的三角函数\(e^{i\omega t}\)来逼近原函数,这样是收服不了包含无穷大值的函数的.
#TODO 等幅度
拉普拉斯变换(没有拉普拉斯级数哦!)则是用变幅三角函数\(e^{st}\)来逼近原函数,这样才能追上无穷大值
#TODO 变幅度
有了对傅里叶级数/变换的理解,拉普拉斯变换其实应该很好理解.如果还是不清楚,请看[27].
拉普拉斯变换与傅里叶变换
上面讲了傅里叶变换是拉普拉斯变换的一种特殊形式.我们来看看怎么个特殊法.
我们对傅里叶变换的处理是这样的: \[ \begin{aligned} \mathscr{F}\left[f(t) e^{-\sigma t}\right] &=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-\sigma t} e^{-j \omega t} \mathrm{d} t \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-(\sigma+j \omega) t} \mathrm{d} t \end{aligned} \tag{6.1} \] 令\(s=\sigma+j\omega\),拉普拉斯变换为: \[ \begin{aligned} F(s)=&\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-st} \mathrm{d} t\\ f(t)=&\frac{1}{2 \pi j} \int_{\sigma-j \infty}^{\sigma+j \infty} F(s) \mathrm{e}^{st} \mathrm{d} s \end{aligned} \tag{6.2} \] 下面举个栗子(参考[26]):
对信号\(f(t)=e^{-at}\sin{(\omega_0t)}u(t)\)作傅里叶变换,由变换表(手推也很简单)知: \[ \mathscr{F}[f(t)]=\frac{\omega_0}{(a+j\omega)^2+\omega_0^2} \ , a>0 \tag{6.3} \] 其频谱为:
#TODO
对其作拉普拉斯变换,我们推导一下:
对信号乘以一个收敛因子\(e^{-\sigma t}\), \[ \begin{aligned} \mathscr{F}\left[f(t) e^{-\sigma t}\right] &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-at}\sin{(\omega_0t)}u(t) e^{-\sigma t} e^{-j \omega t} \mathrm{d} t \\ &=\int_{0}^{\infty} e^{-at}\sin{(\omega_0t)}u(t) e^{-(\sigma+j \omega) t} \mathrm{d} t\\ &=\frac{\omega_0}{[a+(j\omega +\sigma)]^2+\omega_0^2} \ , \ \text{definin } s=j\omega+\sigma\\ &=\frac{\omega_0}{(a+s)^2+\omega_0^2} \triangleq \mathscr{L}[f(t)]=F(s) \end{aligned} \tag{6.4} \] 其中,\(a\)是可以大于\(0\)的;当我们选择的\(\sigma =0\)时,式\((6.4)\)就与式\((6.3)\)等价了,拉普拉斯变换就退化成了傅里叶变换.也正是因为他们的这种关系,很多信号的傅里叶变换和拉普拉斯变换在形式上很像.\(\sigma\)在这里主要影响的是收敛域.
我们接下来绘制出\(\omega,\sigma\)和\(|F(s)|\)的关系,以及傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系.
#TODO