这学期考完数字信号处理之后,突然意识一个很简单却不易察觉的地方.
设计一个巴特沃斯模拟高通滤波器,要求其通带边界频率为10Hz,阻带边界频率为100Hz,通带最大衰减1dB,阻带最小衰减20dB.
- 求出对应的低通滤波器阶数 \(N\),和归一化3dB截止频率\(\lambda_c\);
- 写出关于通带截止频率归一化的低通系统函数 \(Q(p)\);
- 计算高通滤波器系统函数 \(H_{HP}(s)\).
提示 低通到高通的映射关系 \(p=\frac{\lambda_{p}\Omega_{ph}}{s}\),频率映射关系 \(\lambda=-\frac{\lambda_{p}\Omega_{ph}}{\Omega}\).二阶和三阶巴特沃斯3dB频率归一化低通滤波器的系统函数为 \(G_{2}(p)=\frac{1}{p^{2}+1.4142 p+1}, G_{3}(p)=\frac{1}{p^{3}+2 p^{2}+2 p+1}\).
解
对应的低通滤波的通带边界频率为10Hz,阻带边界频率为100Hz,因此低通滤波器的 \[ \lambda_{s p}=\frac{\lambda_{s}}{\lambda_{p}}=10, \quad k_{s p}=\sqrt{\frac{10^{\alpha_{s} 10}-1}{10^{\alpha_{p} / 10}-1}}=19.5538\,; \]
\[ N=\frac{\lg k_{s p}}{\lg \lambda_{s p}}=1.2912\,,\quad \text{let}\ N=2\,; \]
\[ \lambda_{c}=\lambda_{p}\left(10^{0.1 a_{p}}-1\right)^{-\frac{1}{2 N}}=1.4019\quad or\quad \lambda_{c}=\lambda_{s}\left(10^{0.1 a_{s}}-1\right)^{-\frac{1}{2 N}}=3.1702\,. \]
\[ Q(p)=\left.G\left(p^{\prime}\right)\right|_{p^{\prime}=p / \lambda_{c}}=\frac{\lambda_{c}^{2}}{p^{2}+1.4142 p \lambda_{c}+\lambda_{c}^{2}}=\frac{1.965}{p^{2}+1.983 p+1.965},\quad \lambda_{c}=1.4019\,. \]
代入公式计算 \[ \begin{aligned} H_{H P}(s) &=\left.Q(p)\right|_{p=\frac{\lambda_{p} \Omega_{p h}}{s}}\\ &=\frac{\lambda_{c}^{2}}{\left(\frac{\Omega_{p h}}{s}\right)^{2}+1.4142 \times \lambda_{c}\left(\frac{\Omega_{p h}}{s}\right)+\lambda_{c}^{2}}\\ &=\frac{1}{\left(\frac{\Omega_{p h}}{\lambda_{c} s}\right)^{2}+1.4142 \times\left(\frac{\Omega_{p h}}{\lambda_{c} s}\right)+1} \\ &=\frac{s^{2}}{200874+633.83 s+s^{2}}, \quad \Omega_{p h}=2 \pi \cdot 100\,. \end{aligned} \]
题2中的 \(\lambda_c\) 不能通过求算 \(\Omega_c=\Omega_p(10^{0.1\alpha_p}-1)^{-\frac{1}{2N}}\) 或 \(\Omega_c=\Omega_s(10^{0.1\alpha_s}-1)^{-\frac{1}{2N}}\),然后代入 \(\lambda=-\frac{\lambda_{p}\Omega_{ph}}{\Omega}\) 计算.这样会得到 \(\lambda_{c}=\lambda_{p}\left(10^{0.1 a_{p}}-1\right)^{\frac{1}{2 N}}\) 或 \(\lambda_{c}=\lambda_{s}\left(10^{0.1 a_{s}}-1\right)^{\frac{1}{2 N}}\).原因是频率映射关系 \(\lambda=-\frac{\lambda_{p}\Omega_{ph}}{\Omega}\) 是线性映射,只有 \(0,\Omega_{ph},\Omega_{sh},-\infty,+\infty\) 这些位置是对应的,其他频率并不对应;而且 \(\Omega_c\) 计算公式只针对巴特沃斯低通滤波器成立.